问题
问答题
设f(x)在区间[a,b]上可导,f(a)=f(b)=0且f’+(a)·f’-(b)>0.证明:方程f’(x=0在(a,b)内至少有两个不同的实根.
答案
参考答案:方法一:因为f’+(a)·f’-(b)>0,所以f’+(a),f’-(b)同号,不妨设f’+(a)>0,f’-(b)>0.由f’+(a)>0,存在x1∈(a,b),使得f(x1)>f(a)=0;由f’-(b)>0,存在X2∈(a,b),使得f(x2)<f(b)=0.由零点定理,存在c∈(x1,x2),使得f(c)=0.
由f(a)=f(c)=f(b)=0及f(x)的可导性,存在ξ∈(a,c),叩∈(c,b),使得
f’(ξ)=0,f’(η)=0
方法二:
因为f’+(a)·f’-(b)>0,所以f’+(a),f’-(b)同号,不妨设f’+(a)>0,f’-(b)>0.
由f’+(a)>0,存在x1∈(a,b):使得f(x1)>f(a)=0;由f’-(b)>0,存在x2∈(a,b),使得f(x2)<f(b)=0.[*],再由f(a)=f(b)=0,存在ξ,η∈(a,b),使得f(ξ)=M,f(η)=m,从而f’(ξ)=0,f’(η)=0.