已知等差数列{an}（n∈N+）中，an+1＞an，a2a9=232，a4+a7

问题解答题

已知等差数列{a_n}（n∈N⁺）中，a_n+1＞a_n，a₂a₉=232，a₄+a₇=37
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若将数列{a_n}的项重新组合，得到新数列{b_n}，具体方法如下：b₁=a₁，b₂=a₂+a₃，b₃=a₄+a₅+a₆+a₇，b₄=a₈+a₉+a₁₀+…a₁₅，…，依此类推，第n项b_n由相应的{a_n}中2^n-1项的和组成，求数列{b_n-

•2n}的前n项和T_n．

答案

（Ⅰ）由a_n+1＞a_n，可得公差d＞0

∵a₂a₉=232，a₄+a₇=a₂+a₉=37

∴a₉＞a₂

∴

a2=8

a9=29

设公差为d，则d=

a9-a2

9-2

29-8

9-2

∴a_n=a₂+3（n-2）=8+3n-6=3n+2…（4分）

（Ⅱ）由题意得：bn=a2n-1+a2n-1+1 +…+a2n-1+2n-1-1，

=（3•2^n-1+2）+（3•2^n-1+5）+（3•2^n-1+8）+…+[3•2^n-1+（3•2^n-1-1）]

=2^n-1×3•2^n-1+[2+5+8+…+（3•2^n-1-4）+（3•2^n-1-1）]…（6分）

而2+5+8+…+（3•2^n-1-4）+（3•2^n-1+1）是首项为2，公差为3的等差数列的2^n-1项的和，

所以2+5+8+…++（3•2^n-1-4）+（3•2^n-1-1）=2n-1×2+

2n-1(2n-1-1)

×3

=3•22n-3+

所以bn=3•22n-2+3•22n-3+

…（10分）

所以bn-

•2n=

•22n

所以Tn=

9(4+16+64+…+22n)

4(1-4n)

1-4

3(4n-1)

…（12分）