问题
问答题
设A为三阶实对称矩阵，且其特征值为λ1=λ2=1，λ3=0，假设ξ1，ξ2是矩阵A的不同特征向量，且A(ξ1+ξ2)=ξ2．
(Ⅰ) 证明：ξ1，ξ2正交；
(Ⅱ) 求方程组AX=ξ2的通解．
答案
参考答案：(Ⅰ) 若ξ1，ξ2都是属于特征值λ1=λ2=1的特征向量，则Aξ1=ξ1，Aξ2=ξ2，由A(ξ1+ξ2)=ξ2，得ξ1=0，矛盾；若ξ1，ξ2都是属于特征值λ3=0的特征向量，则有Aξ1=0，Aξ2=0，由A(ξ1+ξ2)=ξ2，得ξ2=0，矛盾，所以ξ1，ξ2是属于不同特征值的特征向量，而A是实对称矩阵，所以ξ1，ξ2正交，即[*]
(Ⅱ) 因为[*]，所以r(A)=2．若Aξ1=ξ1，则Aξ2=0，由A(ξ1+ξ2)=ξ2，得ξ1=ξ2，矛盾，所以Aξ1=0，Aξ2=ξ2，于是AX=ξ2的通解为X=kξ1+ξ2(其中k为任意常数)．