问题 解答题
已知定义在区间(0,+∞)上的函数f(x)满足f(
x1
x2
)=f(x1)-f(x2)
,且当x>1时f(x)<0.
(1)求f(1)的值
(2)判断f(x)的单调性
(3)若f(3)=-1,解不等式f(|x|)<2.
答案

(1)令x1=x2得f(1)=0

(2)设x1>x2>0 则

x1
x2
>1,f(
x1
x2
)<0
f(x1)-f(x2)=f(
x1
x2
)<0

所以f(x)在(0,+∞)为减函数;

(3)∵f(1)=0,f(3)=-1∴f(3)=f(

1
1
3
)=f(1)-f(
1
3
)

f(

1
3
)=f(1)-f(3)=1,f(
1
9
)=f(
1
3
)-f(3)=2

f(|x|)<2⇔f(|x|)<f(

1
9
)⇔|x|>
1
9

所以原不等式的解集为{x|x<-

1
9
,或x>
1
9
}

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