问题
解答题
已知圆k过定点A(a,0)(a＞0),圆心k在抛物线C: y2=2ax上运动，MN为圆k在y轴上截得的弦.
(1)试问MN的长是否随圆心k的运动而变化？
(2)当|OA|是|OM|与|ON|的等差中项时，抛物线C的准线与圆k有怎样的位置关系？
答案
(1) 弦MN的长不随圆心k的运动而变化(2) 圆k必与准线相交
(1)设圆心k(x0,y0),且y02=2ax0,
圆k的半径R=|AK|=
∴|MN|=2
=2a(定值)
∴弦MN的长不随圆心k的运动而变化.
(2)设M(0,y1)、N(0,y2)在圆k:(x－x0)2+(y－y0)2=x02+a2中，
令x=0，得y2－2y0y+y02－a2=0，∴y1y2=y02－a2
∵|OA|是|OM|与|ON|的等差中项.
∴|OM|+|ON|=|y1|+|y2|=2|OA|=2a.
又|MN|=|y1－y2|=2a，∴|y1|+|y2|=|y1－y2|
∴y1y2≤0，因此y02－a2≤0,即2ax0－a2≤0 ∴0≤x0≤
.
圆心k到抛物线准线距离d=x0+≤a,而圆k半径R=
≥a.
且上两式不能同时取等号，故圆k必与准线相交.