（Ⅰ）证明：由已知，（S_n+1-S_n）-（S_n-S_n-1）=1（n≥2，n∈N^*），

即a_n+1-a_n=1（n≥2，n∈N^*），且a₂-a₁=1．

∴数列{a_n}是以a₁=2为首项，公差为1的等差数列，

∴a_n=n+1． …（4分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知bn=(n+1)•2n，设它的前n项和为T_n

∴T_n=2×2¹+3×2²+…+n×2^n-1+（n+1）×2ⁿ①

∴2T_n=2×2³+3×2³+…+（n+1）×2ⁿ⁺¹②

①-②可得：-T_n=2×2¹+2²+…+2ⁿ-（n+1）×2ⁿ⁺¹=-n×2ⁿ⁺¹

∴T_n=n×2ⁿ⁺¹；…（8分）

（Ⅲ）∵a_n=n+1，∴cn=4n+(-1)n-1λ•2n+1，

要使c_n+1＞c_n恒成立，则cn+1-cn=4n+1-4n+(-1)nλ•2n+2-(-1)n-1λ•2n+1＞0恒成立

∴3•4ⁿ-3λ•（-1）^n-12ⁿ⁺¹＞0恒成立，

∴（-1）^n-1λ＜2^n-1恒成立．

（ⅰ）当n为奇数时，即λ＜2^n-1恒成立，当且仅当n=1时，2^n-1有最小值为1，∴λ＜1．

（ⅱ）当n为偶数时，即λ＞-2^n-1恒成立，当且仅当n=2时，-2^n-1有最大值-2，∴λ＞-2．

即-2＜λ＜1，又λ为非零整数，则λ=-1．

综上所述，存在λ=-1，使得对任意n∈N^*，都有c_n+1＞c_n．…（14分）