问题
单项选择题
考虑一元函数f(x)有下列四条性质：
①f(x)在[a，b]连续； ②f(x)在[a，b]可积；
③f(x)在[a，b]可导； ④f(x)在[a，b]存在原函数，
若用“P
Q”表示可由性质P推出性质Q，则
A．①
②
④. B．①
④
②. C．③
①
②. D．③
④
①.
答案
参考答案：C
解析：[分析一] 由基本定理，我们应知道：
因此，应选C.
[分析二] f(x)在[a，b]可积与f(x)在[a，b]存在原函数之间无确定关系，因而
②，即A，B不正确，
可以有函数F(x)，它的导函数F′(x)=f(x)在[a，b]不连续. 对此f(x)，它在[a，b]存在原函数，在[a，b]不连续. 因此f(x)在[a，b]存在原函数
在[a，b]连续，即
，D不正确. 因此选C.
令
令f(x)=g′(x)，则f(x)在[-1，1]存在原函数(就是g(x))，但定积分
不存在，因为f(x)在[-1，1]无界. (当
时，n=1，2，3，…；xn∈[-1，1]，f(xn)=
).
若令
则存在定积分
，但f(x)在[-1，1]不存在原函数. 这表明：f(x)在[a，b]可积
f(x)在[a，b]存在原函数，
还是上面的f{x)=g′(x)，则f(x)在[-1，1]存在原函数，但f(x)在[-1，1]不连续(x=0是它的不连续点)，这表明：f(x)在[a，b]存在原函数
f(x)在[a，b]连续.
