已知函数f（x）=logax（a＞0且a≠1）及数列{an}．使得2，f（a1）

问题解答题

已知函数f（x）=log_ax（a＞0且a≠1）及数列{a_n}．
使得2，f（a₁），f（a₂），…，f（a₁），2n+4构成等差数列（n=1，2，…）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{a_n}的前n项和为S_n，当0＜a＜1时，求

lim

n→∞

Sn；
（Ⅲ）若b_n=a_n•f（a_n），当a＞1时，试比较b_n与b_n+1的大小．

答案

（Ⅰ）设等差数列的公差为d，

∵f（x）=log_ax（a＞0且a≠1），

2，f（a₁），f（a₂），…，f（a₁），2n+4构成等差数列（n=1，2，…）．

∴2n+4=2+[（n+2）-1]•d，

∴d=2…（2分）

故f（a_n）=2+[（n+1）-1]×2=2n+2…（4分）

即f（a_n）=log_aa_n=2n+2

∴a_n=a²ⁿ⁺²（a＞0且 a≠1）…（6分）

（Ⅱ）∵a≠1

∴Sn=a4+a6+a8+…+a2n+2=

a4(1-a2n)

1-a2

…（8分）

∵

lim

n→∞

a2n=0，

∴0＜a＜1，

∴

lim

n→∞

Sn=

1-a2

．…（10分）

（Ⅲ）∵b_n=a_nf（a_n）=a²ⁿ⁺²（2n+2）＞0

因为a＞1且

n+2

n+1

=1+

n+1

＞1，

∴

bn+1

(2n+4)a2n+4

(2n+2)a2n+2

(n+2)

(n+1)

•a2＞1…（13分）

故b_n+1＞b_n…（16分）