参考答案：[分析与求解二] 将J表成

，确定积分区域Ω，然后选择适当的积分顺序，将它化为定积分.
将J看成是三重积分的先一后二的累次积分，于是

其

因此，Ω是由半球面

与半平面z=1所围成.
两面的交线是

即

Ω在xy平面上的投影区域是x²+y²≤1，z=0，即D_xy.

现改为先二后一(z)的积分顺序，Ω的不等式表示为

，(x，y)∈ D(z)，截面区域D(z)：x²+y²≤2-z²，面积S(z)=π(2-z²). 因此

[分析与求解二] 将J看成是三重积分的先二后一的累次积分，确定二重积分的积分区域，然后逐次对二重积分交换积分次序，化为定积分.

其中

这里x视为常量，在yz平面上如图所示，

在D_yz上改为先y后z的积分顺序

于是

其中

现在D_zx上改为先x后z的积分次序：

于是

其中

(半圆面积)，

z²

[分析与求解三] 将J表成三重积分

之后，问题变成如何计算这个三重积分(化为定积分)，Ω如前所述.
除了先二后一的积分顺序外，因Ω为旋转体，也可选择柱坐标变换(x=rcosθ，y=rsinθ，z=z)，并选择先r，θ后z的积分顺序化为定积分.
Ω的柱坐标表示：

于是

解析：①三重积分

，若积分区域Ω的不等式表示是：α≤z≤β，(x，y)∈D(z)，而截面区或D(z)的面积已知为S(z)，则选择先二后一(z)的积分顺序易化成定积分

②分析与求解二中的方法不显得简单，但它的优点是，不依赖于空间区域Ω的形状，而只须对二重积分来换积分顺序.