已知各项均不相等的等差数列{an}的前三项和S3=9，且a5是a3和a8的_爱下问搜题

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问题解答题

已知各项均不相等的等差数列{a_n}的前三项和S₃=9，且a₅是a₃和a₈的等比中项．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设T_n为数列{

1

anan+1

}的前n项和，若T_n≤λa_n+1对任意的n∈N^*恒成立，求证：λ≥

1

16

．

答案

（1）设数列{a_n}的公差为d，则

∵S₃=9，且a₅是a₃和a₈的等比中项，

∴

3a1+3d=9

(a1+4d)2=(a1+2d)(a1+7d)

∵d≠0，∴d=1

∴a₁=2

∴a_n=n+1；

（2）证明：∵

1

anan+1

=

1

(n+1)(n+2)

=

1

n+1

-

1

n+2

∴T_n=

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n+1

-

1

n+2

=

1

2

-

1

n+2

=

n

2(n+2)

∵T_n≤λa_n+1对任意的n∈N^*恒成立，

∴

n

2(n+2)

≤λ(n+2)对任意的n∈N^*恒成立，

∵

n

2(n+2)2

=

1

2(n+

4

n

+4)

≤

1

2×(4+4)

=

1

16

∴λ≥

1

16

．

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