问题
问答题
已知矩阵
和
(Ⅰ)证明矩阵A与B合同，并求可逆矩阵C，使CTAC=B；
(Ⅱ)如果A+kE与B+kE合同，求k的取值．
答案
参考答案：[解] (Ⅰ)由矩阵A和曰分别得到二次型
[*]
那么经坐标变换
[*]
有[*]
所以矩阵A与B合同．
令[*]
则有CTAC=B．
(Ⅱ)由[*]
知矩阵A的特征值是1，1，-1，进而可知A+kE的特征值是k+1，k+1，k-1；B+kE的特征值是k+2，k+1，k-2．
当k＞2时，二次型xT(A+kE)x与xT(B+kE)x均有正惯性指数p=3，而负惯性指数q=0：
当-1＜k＜1时，二次型xT(A+kE)x与xT(B+kE)x均有正惯性指数p=2，而负惯性指数q=0；
当k＜-2时，二次型xT(A+kE)x与xT(B+kE)x均有正惯性指数p=0，而负惯性指数q=3．
所以A+kE与B+kE合同[*]
解析：[评注] [*]