问题
解答题
| 已知an≥0，n∈N*，关于x的一元二次方程x2-anx-1=0的两实数根αn、βn满足 αn＞βn，且a1=0，an+1=αn-βn． （1）求数列{αn}和{βn}的通项公式； （2）求
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答案
（1）∵αn＞βn，且a1=0，an+1=αn-βn，
∴αn+βn=an，αnβn=-1，an+1=αn-βn=
=(αn+βn)2-4αnβn
⇒an+12-an2=4，an2+4
∴{an2}是一个以0为首项，4为公差的等差数列．∴an2=4(n-1)⇒an=2
，n-1
∴
⇒αn=αn+βn=2 n-1 αn-βn=2 n
+n
，βn=n-1
-n-1
．n
（2）lim n→∞
=β1+β2+…+βn αn lim n→∞
=-1+1-
+2
-2
+…+3
-n-1 n
+n n-1 lim n→∞
=-- n
+n n-1
．1 2