问题
解答题
已知抛物线y2=x上存在两点关于直线l:y=k(x-1)+1对称，求实数k的取值范围.
答案
-2<k<0即为所求.
解法一：设抛物线上的点A(x1,y1)、B(x2,y2)关于直线l对称，则y12=x1,y22=x2.
两式相减得(y1+y2)·(y1-y2)=x1-x2,即y1+y2=
.
∵
=kAB=-
,∴y1+y2=-k.∴
=-
.
∵AB中点在直线l上，∴可得
=
-,即弦的中点为(-,-).
∴由点斜式可得AB：y+=-(x-+)，即x=-ky-
-.
代入y2=x中得y2+ky++-=0.
由Δ=k2-4·(+-)>0,得-2<k<0即为所求.
解法二：设抛物线上的点A(y12,y1)、B(y22,y2)关于直线l对称，则
∴y1、y2是方程t2+kt++-=0的两个不同根.
∴Δ=k2-4(+-)>0,得-2<k<0即为所求.