问题
解答题
正三角形的一个顶点位于坐标原点,另外两个顶点在抛物线y2=2px(p>0)上,求这个正三角形的边长.
答案
|AB|=2y1=4
p.
如图,设正△OAB的顶点A、B在抛物线上,且它们的坐标分别为(x1,y1)和(x2,y2),则y12=2px1,y22=2px2,又|OA|=|OB|,
∴x12+y12=x22+y22,即x12-x22+2px1-2px2=0.
∴(x1-x2)(x1+x2+2p)=0.∵x1>1,x2>0,2p>0,∴x1=x2.由此可得|y1|=|y2|,即线段AB关于x轴对称.
由于AB垂直于x轴,且∠AOx=30°,∴
=tan30°=
.
而y12=2px1,∴y1=2p.于是|AB|=2y1=4p.