问题 解答题
已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn=
1
4
(an+1)2
,且an>0.
(1)求数列{an}的通项公式
(2)令bn=20-an,试求数列{bn}的前多少项的和最大?
答案

(1)当n=1时,有a1=S1=

1
4
(a1+1)2,∴a1=1

当n=2时,有a1+a2=

1
4
(a2+1)2,∴a1=3

当n≥2时,有an=Sn-Sn-1=

1
4
[(an+1)2-(an-1+1)2]

∴(an+an-1)(an-an-1-2)=0又∵an>0,∴an-an-1=2,

∴数列{an}是以1为首项,以2为公差的等差数列,

∴an=1+(n-1)×2=2n-1

(2)由于bn=20-an=21-2n,则b1=19,bn-bn-1=-2<0.

∴{bn}是递减数列,

bn=21-2n>0  
bn+1=19-2n<0

∴n=10,即数列{bn}的前10项和最大.

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