问题
解答题
| 已知数列{an}中，a1=5且an=2an-1+2n-1（n≥2且n∈N*）． （1）若数列{
（2）求数列{an}的前n项和Sn． |
答案
（1）方法1：∵a1=5，
∴a2=2a1+22-1=13，a3=2a2+23-1=33．
设bn=
，由{bn}为等差数列，则有2b2=b1+b3．an+λ 2n
∴2×
=a2+λ 22
+a1+λ 2
．a3+λ 23
∴
=13+λ 2
+5+λ 2
．33+λ 8
解得 λ=-1．
事实上，bn+1-bn=
-an+1-1 2n+1
=an-1 2n
[(an+1-2an)+1]=1 2n+1
[(2n+1-1)+1]=1，1 2n+1
综上可知，当λ=-1时，数列{
}为首项是2、公差是1的等差数列．an+λ 2n
方法2：∵数列{
}为等差数列，an+λ 2n
设bn=
，由{bn}为等差数列，则有2bn+1=bn+bn+2（n∈N*）．an+λ 2n
∴2×
=an+1+λ 2n+1
+an+λ 2n
．an+2+λ 2n+2
∴λ=4an+1-4an-an+2=2（an+1-2an）-（an+2-2an+1）=2（2n+1-1）-（2n+2-1）=-1．
综上可知，当λ=-1时，数列{
}为首项是2、公差是1的等差数列．an+λ 2n
（2）由（1）知，
=an-1 2n
+(n-1)×1，a1-1 2
∴an=(n+1)•2n+1．
∴Sn=(2•21+1)+(3•22+1)+…+(n•2n-1+1)+[(n+1)•2n+1]．
即Sn=2•21+3•22+…+n•2n-1+(n+1)•2n+n．
令Tn=2•21+3•22+…+n•2n-1+(n+1)•2n，①
则2Tn=2•22+3•23+…+n•2n+(n+1)•2n+1． ②
②-①，得Tn=-2•21-(22+23+…+2n)+(n+1)•2n+1=n•2n+1．
∴Sn=n•2n+1+n=n•(2n+1+1)．