问题
解答题
已知数列{an}是公差为正的等差数列，其前n项和为Sn，点（n，Sn）在抛物线y=
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式； （2）记Cn=anbn，求数列{Cn}的前n项和Tn． |
答案
（1）∵点（n，Sn）在抛物线y=
x2+3 2
x上，1 2
∴Sn=
n2+3 2
n，1 2
当n=1时，a1=S1=2…（1分）
当n≥2时，Sn-1=
(n-1)2+3 2
(n-1)=1 2
n2-3 2
n+1，5 2
∴an=Sn-Sn-1=3n-1…（3分）
∴数列{an}是首项为2，公差为3的等差数列，
∴an=3n-1…（4分）
又∵各项都为正数的等比数列{bn}满足b1b3=
，b5=1 4
，1 32
设等比数列{bn}的公比为q，
∴b2=b1q=
，b1q4=1 4
…（5分）1 32
解得b1=
，q=1 2
…（6分）1 2
∴bn=(
)n…（7分）1 2
（2）由（1）可知Cn=(3n-1)•(
)n…（8分）1 2
∴Tn=2×
+5×(1 2
)2+…+(3n-3)×(1 2
)n-1+(3n-1)×(1 2
)n…①…（9分）1 2
∴
Tn=2×(1 2
)2+5×(1 2
)3+…+(3n-3)×(1 2
)n+(3n-1)×(1 2
)n+1…②…（10分）1 2
②-①知∴
Tn=1+3[(1 2
)2+(1 2
)3+…+(1 2
)n]-(3n-1)×(1 2
)n+11 2
=1+3×
-(3n-1)×(
[1-(1 4
)n-1]1 2 1- 1 2
)n+1=1 2
-3×(5 2
)n-(3n-1)×(1 2
)n+1…（12分）1 2
∴Tn=5-
…（13分）3n+5 2n