将等差数列{an}的所有项依次排列，并如下分组：（a1），（a2，a3

问题解答题

将等差数列{a_n}的所有项依次排列，并如下分组：（a₁），（a₂，a₃），（a₄，a₅，a₆，a₇），…，其中第1组有1项，第2组有2项，第3组有4项，…，第n组有2^n-1项，记T_n为第n组中各项的和，已知T₃=-48，T₄=0，

（I）求数列{a_n}的通项公式；

（II）求数列{T_n}的通项公式；

（III）设数列{ T_n }的前n项和为S_n，求S₈的值．

答案

（I）设{a_n}的公差为d，

由题意T₃=4a₇-6d=-48①，

T₄=8a₇+36d=0②，

解①、②得d=2，a₇=-9，

∴a_n=2n-23；

（II）当n≥2时，在前n-1组中共有项数为：1+2+…+2^n-2=2^n-1-1，

故第n组中的第一项是{a_n}中的第2^n-1项，且第n组中共有2^n-1项，

∴第n组中的2^n-1项的和：

Tn=(2n-23)×2n-1+

2n-1(2n-1-1)

×2

=3×2^2n-2-24×2^n-1．

当n=1时，T₁=a₁=-21适合上式，

∴T_n=3×2^2n-2-24×2^n-1．

（III）∵S₈=T₁+T₂+T₃+…+T_n，

即数列{a_n}前8组元素之和，且这8组总共有1+2+2²+…+2⁷=2⁸-1=255，

∴S₈=255a1+

×255×254×d

=255×（-21）+

×255×254×2

=59415．