参考答案：(Ⅰ)由假设条件及罗尔定理知，

a∈(0，1)，f′(a)=0. 由f′(x)在(0，1)↘

(Ⅱ)

方法1°要证：f′(x)-M在(0，1)

零点

在(0，1)

零点. 作辅助函数F(x)= f(x)-Mx

F(x)在[0，1]连续，在(0，1)可导，F(0)=f(0)=0. 再找F(x)在(0，1)的一个零点. 由
F(a)=f(a)-Ma=M(1-a)＞0，
F(1)=f(1)-M=-M＜0

，使得F(η)=0.
在

上对F(x)用罗尔定理

，使得F′(ξ)=0，即f(ξ)=M.
方法2°作辅助函数F(x)=f(x)-Mx，由F(x)在[0，1]连续，在(0，1)可导，且
F(0)=0，F(a)=M(1-a)＞0，F(1)=-M＜0

F(x)在[0，1]的最大值不能在x=0或x=1取到

，使得

由费马定理

F′(ξ)=0，即f′(ξ)=M.
方法3°先证M是f′(x)的某一中间值. 由a∈(0，1)，

0，又由拉格朗日中值定理，

，使得

即

亦即f′(a)＜M＜f′(η).
由连续函数中间值定理

，使得f′(ξ)=M.
最后证唯一性. 由f″(x)＜0(x∈(0，1))

f′(x)在

唯一的ξ∈(0，1)，f′(ξ)=M.