参考答案：(Ⅰ)方法1°即证f(x，y)=f(0，0)

. 由于
f(x，y)-f(0，0)=[f(x，y)-f(0，y)]+[f(0，y)-f(0，0)]

(其中ξ在x，0之间，η在0，y之间)

因此f(x，y)=f(0，0)

.
方法2°偏导数实质上是一元函数的导数，在全平面上，

，即

给定y，作为x的一元函数f(x，y)对x的导数

于是f(x，y)=φ(y)
φ(y)是

可导函数(当y给定时它是x的常数函数).
将上式两端关于y求偏导数与导数，有

f(x，y)=φ(y)=G.
因此f(x，y)恒为常数.
(Ⅱ)由所给条件即证

由

将

代入上式

此方程组的系数行列式

若C=0

u=0，v=0；若

为常数.
同理可证：v(x，y)为常数，

解析：①对于这类证明题，考生要注意题设条件与结论的内在关系及所证结论的转换. 例如：设函数z=f(x，y)具有二阶连续编导数，且

，试证对任意的常数C，f(x，y)=C确定y=y(x)为一直线的充要条件是

([提示]由于y=y(z)是线性函数的充要条件为y′(x)=K(K为常数)，进而y″(x)=0. 设y=y(x)是由方程f(x，y)=C确定的隐函数，则只需证题中的条件是

的充要条件.
②作为复习，请考生证明：(Ⅰ)设u(x，y)有二阶连续偏导数，则u(x，y)=f(x)+g(y)的充要条件是

. (Ⅱ)设u(x，y)≠0，且具有二阶连续编导数，则u(x，y)=f(x)·g(y)的充分必要条件是

([提示]该题与题(Ⅰ)是相类似的问题，证明思路同题(Ⅰ)的方法2°. )
分析与证明：

现求出