数列{an}中a1=3，已知点（an，an+1）在直线y=x+2上，（1）求数

问题解答题

数列{a_n}中a₁=3，已知点（a_n，a_n+1）在直线y=x+2上，

（1）求数列{a_n}的通项公式；

（2）若b_n=a_n•3ⁿ，求数列{b_n}的前n项和T_n．

答案

（1）∵点（a_n，a_n+1）在直线y=x+2上．

∴数列{a_n}是以3为首项，以2为公差的等差数，

∴a_n=3+2（n-1）=2n+1

（2）∵b_n=a_n•3ⁿ，

∴b_n=（2n+1）•3ⁿ∴T_n=3×3+5×3²+7×3³+…+（2n-1）•3^n-1+（2n+1）•3ⁿ①

∴3T_n=3×3²+5×3³+…+（2n-1）•3ⁿ+（2n+1）•3ⁿ⁺¹②

由①-②得-2T_n=3×3+2（3²+3³++3ⁿ）-（2n+1）•3ⁿ⁺¹

=9+2×

9(1-3n-1)

1-3

-(2n+1)•3n+1=-2n•3ⁿ⁺¹

∴T_n=n•3ⁿ⁺¹．