问题
解答题
已知等差数列{an}的前n项和为An，且满足a1+a5=6，A9=63；数列{bn}的前n项和为Bn，且满足Bn=2bn-1(n∈N*)．
（I）求数列{an}，{bn}的通项公式ab，bn；
（II）设cn=an•bn求数列{cn}的前n项和Sn．
答案
（I）设 {an}的首项为a1，公差为d，因为 a1+a5=6，得a1+2d=3．由A9=63，得a1+4d=7，两式联立解得a1=-1，d=2．
所以an=-1+2(n-1)=2n-3，n∈N•．
当n=1时，b1=2b1-1，解得b1=1．当 n≥2时，bn=Bn-Bn-1=2bn-2bn-1，即bn=2bn-1．
所以数列{bn}是首项是1，公比为2的等比数列．所以bn=2n-1，n∈N•．
（II）因为cn=an•bn，所以cn=an⋅bn=(2n-3)⋅2n．
则Sn=-2+1⋅22+3⋅23+…+(2n-3)⋅2n ①
2Sn=-22+1⋅23+3⋅24+…+(2n-3)⋅2n+1 ②
①-②得，-Sn=-2+2⋅22+2⋅23+…+2⋅2n-(2n-3)⋅2n+1=
-2-(2n-3)⋅2n+1=2⋅22(1-2n-1) 1-2
-2-(2n-3)⋅2n+1=2n+1-8-2-(2n-3)⋅2n+1=(4-2n)⋅2n+1-10，2⋅22(1-2n-1) 1-2
所以Sn=10-(4-2n)⋅2n+1，即数列{cn}的前n项和为Sn=10-(4-2n)⋅2n+1．