问题
解答题
设直线l：x－y＋m＝0与抛物线C：y2＝4x交于不同两点A，B，F为抛物线的焦点．
(1)求△ABF的重心G的轨迹方程；
(2)如果m＝－2，求△ABF的外接圆的方程．
答案
(1)y＝
(2)
2＋
2＝
(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，F(1,0)，重心G(x，y)，
⇒y2－4y＋4m＝0，
∴Δ>0⇒m<1且m≠－1(A，B，F不共线)，
故
∴重心G的轨迹方程为y＝.
(2)若m＝－2，则y2－4y－8＝0，设AB中点为(x0，y0，)
∴y0＝
＝2，∴x0＝y0－m＝2－m＝4，
那么AB的中垂线方程为x＋y－6＝0，
令△ABF的外接圆圆心为C(a,6－a)，
又|AB|＝
|y1－y2|＝4
，C到AB的距离为d＝
，∴|CA|＝|CF|⇒(2)2＋
2＝(a－1)2＋(6－a)2⇒a＝
，
∴C点的坐标为
，∴|CF|2＝
2＋
2＝，
∴所求的圆的方程为2＋2＝.