（文科）数列{an}是首项为21，公差d≠0的等差数列，记前n项和为S

问题解答题

（文科）数列{a_n}是首项为21，公差d≠0的等差数列，记前n项和为S_n，若

S₁₀和

S₁₉的等比中项为

S₁₆．数列{b_n}满足：b_n=a_na_n+1a_n+2．
求：（1）数列{a_n}的通项a_n；（2）数列{b_n}前n项和T_n最大时n的值．

答案

（1）设a_n=21+（n-1）d（d≠0），

则S_n=21n+

n(n-1)

d，

∴

S_n=21+

n-1

d，

∴

S₁₀=21+

d，

S₁₉=21+9d，

S₁₆=21+

d．

由题设可知：（

S₁₆）²=（

S₁₀）•（

S₁₉），

即（21+

d）²=（21+

d）•（ 21+9d），解得d=-2，

∴a_n=21-2（n-1）=23-2n；

（2）由a_n=23-2n＞0，得n＜12．

∴当n＜10时，b_n=a_na_n+1a_n+2＞0；

当n＞11时，b_n=a_na_n+1a_n+2＜0．

而T_n=T_n-1+b_n，

∴当b_n＞0时，T_n＞T_n-1；当b_n＜0时，T_n＜T_n-1．

∴当n＜10时，{T_n}递增；当n＞11时，{T_n}递减．

又b₁₀=a₁₀a₁₁a₁₂=-3，b₁₁=a₁₁a₁₂a₁₃=3，

∴T₉=T₁₁，

∴当n=9或11时，{ T_n}取最大值．