问题
问答题
设向量α1，α2，…，αt是齐次方程组AX=0的一个基础解系，向量β不是方程组AX=0的解，即Aβ≠0．试证明：向量组β，β+α1，β+α2，…，β+αt，线性无关。
答案
参考答案：用定义法证明．
设有一组数k，k1，k2，…，k1，使得
kβ+k1(β+α1)+…+kt(β+αt)=0，
即
[*]
上式两边同时左乘矩阵A，有
[*]
因为Aβ≠0，故
[*]
从而，由①式得
[*]
由于向量组α1，…，αt是基础解系，所以有
k1=k2=…=kt=0，
因而由②式得k=0．
因此，向量组β，β+α1，…，β+αt线性无关．
解析：[考点提示] 向量组的基础解系以及线性相关的证明．