问题
解答题
已知点A（﹣1，0），B（1，0），动点P（x，y）满足：PA与PB的斜率之积为3．设动点P的轨迹为曲线E．
（1）求曲线E的方程；
（2）记点F（﹣2，0），曲线E上的任意一点C（x1，y1）满足：x1＜﹣1，x1≠﹣2且y1＞0．
①求证：∠CFB=2∠CBF；
②设过点C的直线x=my+b与轨迹E相交于另一点D（x2，y2）（x2＜﹣1，y2＜0），若∠FCB与∠FDB互补，证明代数式3m2﹣4b的值为定值，并求出此定值．
答案
解：（1）∵点A（﹣1，0），B（1，0），动点P（x，y），
∴
，
，
∵PA与PB的斜率之积为3，
∴
，x≠±1，
∴
．
（2）①设∠CFB=α，∠CBF=β，β为锐角，
则tanα=
，tanβ= 
，
，
∴tan2β=
=
=
=tanα．
②由题意C（x1，y1），y1＞0，D（x2，y2），y2＜0，
联立 
，得（3m2﹣1）y2+6mby+3b2﹣3=0，
则△=12（b2+3m2﹣1）＞0， 
，
，
∵k= 
，∴
，∴3m2﹣1＜0，
故 
，
设∠DFB=γ，∠DBF=θ，
∵
，tan 
，
，
∴tan2θ=
=
=﹣
=tanγ，
∵2θ∈（0，π），γ∈（0，π），
∴γ=2θ，即∠DFB=2∠DBF，
∵α，2β∈（0，π），
∴由（2）①得α=2β，即∠CFB=2∠CBF，
又∠DFB=2∠DBF，
∴∠FCB与∠FDB互补，即∠FCB+∠FDB=π，
∴2π﹣3∠CBF﹣3∠DBF=π，则 
，
由到角公式，得 
=
， ∴
=
，
即 
，
∴3m2﹣1=4b+4，
∴3m2﹣4b=5（定值）．