问题
解答题
| 已知函数f（x）=x2+（a-1）x+b+1，当x∈[b，a]时，函数f（x）的图象关于y轴对称，数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=f（n）． （1）求数列{an}的通项公式； （2）设bn=
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答案
（1）∵函数f（x）的图象关于y轴对称，
∴a-1=0，且a+b=0，解得a=1，b=-1，
∴Sn=n2，即有an=Sn-Sn-1=2n-1（n≥2）．
a1=S1=1也满足，
∴an=2n-1．（5分）
（2）由（1）得bn=
，2n-1 2n
∴Tn=
+1 21
+3 22
+…+5 23
+2n-3 2n-1
，①2n-1 2n
Tn=1 2
+1 22
+…+3 23
+2n-5 2n-1
+2n-3 2n
，②2n-1 2n+1
①-②得
Tn=1 2
+1 2
+2 22
+…+2 23
+2 2n-1
-2 2n 2n-1 2n+1
=
+（1 2
+1 2
+1 22
+…+1 23
）-1 2n-1 2n-1 2n+1
=
-3 2
-1 2n-1
，2n-1 2n+1
∴Tn=3-
-1 2n-2
=3-2n-1 2n
．（9分）2n+3 2n
设g（n）=
，n∈N+，2n+3 2n
则由
=g(n+1) g(n)
=2n+5 2n+1 2n+3 2n
=2n+5 2(2n+3)
+1 2
≤1 2n+3
+1 2
＜1，得g（n）=1 5
（n∈N+）随n的增大而减小，2n+3 2n
∴g（n）≤g（1），
即Tn≥3-
=2+3 2
．1 2
又Tn＞m恒成立，
∴m＜
．（12分）1 2