问题
解答题
已知函数f（x）的定义域为{x|x∈R，且x≠0}对定义域内的任意x1，x2，都有f （x1·x2）=f（x1）+f（x2），且当x>1时，f（x）>0，f（2）=1。
（1）求证：f（x）是偶函数；
（2）求证：f（x）在（0，+∞）上是增函数；
（3）解不等式：f（2x2-1）<2。
答案
解：（1）因对定义域内的任意x1，x2都有 f（x1·x2）=f（x1）+f（x2），
令x1=x，x2=-1，则有 f（-x）=f（x）+f（-1）
又令x1=x2=-1，得2f（-1）=f（1）
再令x1=x2=1，得f（1）=0，从而f（-1）=0，
于是有f（-x）=f（x）
∴f（x）是偶函数；
（2）设0<x1<x2，则f（x1）-f（x2）=f（x1）-
由于0<x1<x2
∴
从而
故f（x1）-f（x2）<0，即f（x1）<f（x2）
∴f（x）在（0，+∞）上是增函数；
（3）由于f（2）=1，
所以2=1+1=f（2）+f（2）=f（4），
于是待解不等式可化为f（2x2-1）<f（4）
结合（1），（2）已证结论，得上式等价于|2x2-1|<4
解得
。