（1）∵S₁=1，

Sn+1

Sn

=

n+c

n

，

∴a_n+1=S_n+1-S_n=

c

n

Sn，-------------------------（2分）

∴a₁=S₁=1，a₂=cS₁=c，a₃=

c

2

S2=

c

2

(1+c)．

∵a₁，a₂，a₃成等差数列，

∴2a₂=a₁+a₃，

即2c=1+

c(1+c)

2

，

∴c²-3c+2=0．---------------------------------------------------（5分）

解得c=2，或c=1（舍去）．-----------------------------------------------------------------（6分）

（2）∵）∵S₁=1，

Sn+1

Sn

=

n+2

n

，

∴S_n=S₁×

S2

S1

×…×

Sn

Sn-1

=1×

3

1

×

4

2

×…×

n+1

n-1

=

n(1+n)

2

（n≥2），-------------------（8分）

∴a_n=S_n-S_n-1=

n(1+n)

2

-

n(n-1)

2

=n（n≥2），------------------------------------------（9分）

又a₁=1，∴数列{a_n}的通项公式是a_n=n（n∈N^*）．-----------------------------------（10分）

（3）证明：∵数列{b_n}是首项为1，公比为c的等比数列，

∴b_n=c^n-1．---------（11分）

∵A_2n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_2nb_2n，B_2n=a₁b₁-a₂b₂+…-a_2nb_2n，

∴A_2n+B_2n=2（a₁b₁+a₃b₃+…+a_2n-1b_2n-1），①

A_2n-B_2n=2（a₂b₂+a₄b₄+…+a_2nb_2n），②

①式两边乘以c得　c（A_2n+B_2n）=2（a₁b₂+a₃b₄+…+a_2n-1b_2n）③

由②③得（1-c）A_2n-（1+c）B_2n=A_2n-B_2n-c（A_2n+B_2n）

=2[（a₂-a₁）b₂+（a₄-a₃）b₄+…+（a_2n-a_2n-1）b_2n]

=2（c+c³+…+c^2n-1）

=

2c(1-c2n) 1-c2

，

将c=2代入上式，得A_2n+3B_2n=

4

3

（1-4ⁿ）．-----------------------------------------（14分）

另证：先用错位相减法求A_n，B_n，再验证A_2n+3B_2n=

4

3

（1-4ⁿ）．

∵数列{b_n}是首项为1，公比为c=2的等比数列，∴bn=2n-1．--------------（11分）

又是a_n=n（n∈N^*），所以A_2n=1×2⁰+2×2¹+…+2n×2^2n-1①

B_2n=1×2⁰-2×2¹+…-2n×2^2n-1②

将①乘以2得：

2A_2n=1×2¹+2×2²+…+2n×2²ⁿ③

①-③得：-A_2n=2⁰+2¹+…+2^2n-1-2n×2²ⁿ=

1(1-22n)

1-2

-2n×2²ⁿ，

整理得：A_2n=4ⁿ（2n-1）+1-------------------------（12分）

将②乘以-2得：-2B_2n=-1×2¹+2×2²-…+2n×2²ⁿ④

②-④整理得：3B_2n=2⁰-2¹+…+2^2n-1-2n×2²ⁿ=

1(1-22n)

1-(-2)

-2n×2²ⁿ=

1-4n

3

-2n×4ⁿ，（13分）

∴A_2n+3B_2n=

4

3

（1-4ⁿ）-----------------------------------------（14分）