（1）因为a₁=1，a₂=2，

所以a₃=（1+cos²

π

2

）a₁+sin²

π

2

=a₁+1=2，

a₄=（1+cos²π）a₂+sin²π=2a₂=4．

一般地，当n=2k-1（k∈N^*）时，a_2k+1=[1+cos²

(2k-1)π

2

]a_2k-1+sin²

(2k-1)π

2

=a_2k-1+1，即a_2k+1-a_2k-1=1．

所以数列{a_2k-1}是首项为1、公差为1的等差数列，

因此a_2k-1=k．

当n=2k（k∈N^*）时，a_2k+2=（1+cos²

2kπ

2

）a_2k+sin²

2kπ

2

=2a_2k．

所以数列{a_2k}是首项为2、公比为2的等比数列，

因此a_2k=2^k．

故数列{a_n}的通项公式为

a_n=

n+1 2 ，n=2k-1(k∈N*) 2 n 2 ，n=2k(k∈N*)

（2）由（1）知，b_n=

a2n-1

a2n

=

n

2n

，

所以S_n=

1

2

+

2

22

+

3

23

+…+

n

2n

，①

1

2

S_n=

1

22

+

2

23

+

3

24

+…+

n

2n^+

1，②

①-②得，

1

2

S_n=

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

-

n

2n+1

=

1 2 [1-( 1 2 )n]

1- 1 2

-

n

2n+1

=1-

1

2n

-

n

2n+1

，

所以S_n=2-

1

2n-1

-

n

2n

=2-

n+2

2n

．

要证明当n≥6时，|S_n-2|＜

1

n

成立，只需证明当n≥6时，

n(n+2)

2n

＜1成立．

（1）当n=6时，

6×(6+2)

26

=

48

64

=

3

4

＜1成立．

（2）假设当n=k（k≥6）时不等式成立，即

k(k+2)

2k

＜1．

则当n=k+1时，

(k+1)(k+3)

2k+1

=

k(k+2)

2k

×

(k+1)(k+3)

2k(k+2)

＜

(k+1)(k+3)

(k+2)•2k

＜1．

由（1）、（2）所述，当n≥6时，

n(n+2)

2n

＜1．

即当n≥6时，|S_n-2|＜

1

n

．