（1）n=1时，6a₁=a₁²+3a₁+2，且a₁＞1，解得a₁=2．…..（2分）

n≥2时，6S_n=a_n²+3a_n+2，6S_n-1=a_n-1²+3a_n-1+2，

两式相减得：6a_n=a_n²-a_n-1²+3a_n-3a_n-1

即（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-3）=0，

∵a_n+a_n-1＞0，

∴a_n-a_n-1=3，

∴{a_n}为等差数列，a_n=3n-1．…．（6分）

（2）bn=

3n-1，n为偶数 23n-1，n为奇数

，T_n=b₁+b₂+…+b_n．…..（7分）

当n为偶数时，

T_n=（b₁+b₃+…+b_n-1）+（b₂+b₄+…+b_n）

=

4(1-8 n 2 )

1-8

+

n 2 (5+3n-1)

2

=

4

7

(8

n

2

-1)+

n(3n+4)

4

，…．（9分）

当n为奇数时，T_n=（b₁+b₃+…+b_n）+（b₂+b₄+…+b_n-1）

=

4(1-8 n+1 2 )

1-8

+

n-1 2 (5+3n-4)

2

=

4

7

(8

n+1

2

-1)+

(n-1)(3n+1)

4

．…（11分）∴Tn=

4 7 (8 n 2 -1)+ n(3n-4) 4 ，n为偶数 4 7 (8 n+1 2 -1)+ (n-1)(3n+1) 4 ，n为奇数

…..（12分）

（3）Cn=

2an+1 an = 23n+2 3n-1 ，n为偶数 an+1 2an = 3n+2 23n-1 ，n为奇数

，…..（14分）

当n为奇数时，Cn+2-Cn=

3n+8

23n+5

-

3n+2

23n-1

=

1

23n+5

[3n+8-64(3n+2)]＜0，…（15分）

∴C_n+2＜C_n，

∴{C_n}递减，…..（16分）

Cn≤C1=

5

4

＜2008，…..（17分）

因此不存在满足条件的正整数N．…..（18分）