问题
问答题
设A为三阶矩阵，α1，α2，α3是三维线性无关的向量组，且Aα1=α1+3α2，Aα2=5α1-α2，Aα3=α1-α2+4α3．
(Ⅰ) 求矩阵A的特征值；
(Ⅱ) 求可逆Q，使得Q-1AQ为对角阵．
答案
参考答案：(Ⅰ) 令P=(α1，α2，α3)，因为α1，α2，α3线性无关，所以P可逆，
因为Aα1=α1+3α2，Aα2-5α1-α2，Aα3=α1-α2+4α3，
所以(Aα1，Aα2，Aα3)=(α1+3α2，5α1-α2，α1-α2+4α3)，
从而[*]
[*]
得A的特征值为λ1=-4，λ2=λ3=4．
(Ⅱ) 因为，A～B，所以B的特征值为λ1=-4，λ2=λ3=4．
当λ1=-4时，由(-4E-B)X=0得[*]
当λ2=λ3=4时，由(4E-B)X=0得[*]
令[*]
因为P-1AP=B，所以
[*]
取Q=PP1=(-α1+α2，5α1+3α2，α1+3α2)，则[*]