问题
解答题
直线l:y=kx+1 与双曲线C:2x2-y2=1的右支交于不同两点A 、B ．
（1）求实数k的取值范围；
（2）是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线右焦点F?若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
答案
解：（1）将直线l的方程y=kx+1代入双曲线C的方程2x2-y2=1,
整理得（k2 -2）x2 +2kx+2 =0， ①
依题意，直线与双曲线C:2x2-y2=1的右支交于不同两点 A、B，
∴
解得k的取值范围是
（2）设A、B两点的坐标分别是（x1，y1）、(x2，y2)，
则由①式得
假设存在实数k使得以线段AB为直径的圆经过双曲线右焦点F（c，0），
则由FA⊥FB得（x1-c）（x2-c）+y1y2=0，
即（x1-c）（x2-c）+（kx1+1）（kx2+1）=0，
整理得（k2+1）x1x2+(k-c)（x1+x2）+c2+1=0， ③
把②式及
代入③式化简得
解得
或
又
不符合
，所以舍去．
可知
可使得以线段AB为直径的圆经过双曲线的右焦点F