已知向量p=（an，2n），q=（2n+1，-an+1），n∈N*，向量p与q垂

问题解答题

已知向量

=（a_n，2ⁿ），

=（2ⁿ⁺¹，-a_n+1），n∈N^*，向量

与

垂直，且a₁=1
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足b_n=log₂a_n+1，求数列{a_n•b_n}的前n项和S_n．

答案

（1）∵向量

与

垂直，∴2ⁿa_n+1-2ⁿ⁺¹a_n=0，

即2ⁿa_n+1=2ⁿ⁺¹a_n，…（2分）

∴

an+1

=2∴{a_n}是以1为首项，2为公比的等比数列…（4分）

∴a_n=2^n-1． …（5分）

（2）∵b_n=log₂a₂+1，∴b_n=n

∴a_n•b_n=n•2^n-1，…（8分）

∴S_n=1+2×2+3×2²+…+（n-1）×2^n-2+n×2^n-1 …①

∴2S_n=1×2+2×2²+…（n-1）×2^n-1+n×2ⁿ …②…（10分）

由①-②得，-S_n=1+2+2²+…+2^n-1-n×2ⁿ=

1-2n

1-2

-n•2n=（1-n）•2ⁿ=（1-n）2ⁿ-1…（12分）

∴S_n=1-（n+1）2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹=1+（n-1）•2ⁿ．…（14分）