问题
解答题
| 设正数数列{an}的前n项和为Sn，且对任意的n∈N*，Sn是an2和an的等差中项． （1）求数列{an}的通项公式； （2）在集合M={m|m=2k，k∈Z，且1000≤k＜1500}中，是否存在正整数m，使得不等式Sn-1005＞
（3）请构造一个与数列{Sn}有关的数列{un}，使得
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答案
（1）由题意得，2Sn=an2+an①，
当n=1时，2a1=a12+a1，解得a1=1，…（1分）
当n≥2时，有2Sn-1=an-12+an-1②，
①式减去②式得，2an=an2-an-12+an-an-1
于是，an2-an-12=an+an-1，（an+an-1）（an-an-1）=an+an-1，…（2分）
因为an+an-1＞0，所以an-an-1=1，
所以数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列，…（3分）
所以{an}的通项公式为an=n（n∈N*）．…（4分）
（2）设存在满足条件的正整数m，
则
-1005＞n(n+1) 2
，n2 2
＞1005，n＞2010，…（6分）n 2
又M={2000，2002，…，2008，2010，2012，…，2998}，
所以m=2010，2012，…，2998均满足条件，
它们组成首项为2010，公差为2的等差数列．…（8分）
设共有k个满足条件的正整数，
则2010+2（k-1）=2998，解得k=495．…（10分）
所以，M中满足条件的正整数m存在，
共有495个，m的最小值为2010．…（12分）
（3）设un=
，即un=1 Sn
，…（15分），2 n(n+1)
则u1+u2+…+un=
+2 1×2
+…+2 2×3 2 n(n+1)
=2[(1-
)+(1 2
-1 2
)+…+(1 3
-1 n
)]=2(1-1 n+1
)，1 n+1
其极限存在，且
(u1+u2+…+un)=lim n→∞
[2(1-lim n→∞
)]=2．…（18分）1 n+1
注：un=
（c为非零常数），un=(c Sn
)1 2
（c为非零常数），c•Sn n+1
un=q
（c为非零常数，0＜|q|＜1）等都能使c•Sn n+1
(u1+u2+…+un)存在．lim n→∞