问题
解答题
已知数列a，b，c是各项均为正数的等差数列，公差为d（d＞0），在a，b之间和b，c之间共插入n个实数，使得这n+3个数构成等比数列，其公比为q．
（I）求证：|q|＞1；
（II）若a=1，n=1，求d的值．
答案
（1）由题意知qn+2=
，c=a+2d，c a
又a＞0，d＞0，可得qn+2=
=1+c a
＞12d a
即|qn+2|＞1，故|q|n+2＞1，又n+2是正数，故|q|＞1．
（2）由a，b，c是首项为1、公差为d的等差数列，故b=1+d，c=1+2d，
若插入的这一个数位于a，b之间，则1+d=q2，1+2d=q3，
消去q可得（1+2d）2=（1+d）3，即d3-d2-d=0，其正根为d=1+ 5 2
若插入的这一个数位于b，c之间，则1+d=q，1+2d=q3，
消去q可得1+2d=（1+d）3，即d3+3d2+d=0，此方程无正根．
故所求公差d=1+ 5 2