问题 解答题
数列{an}的前n项和为Sn=2an-2,数列{bn}是首项为a1,公差不为零的等差数列,且b1,b3,b11成等比数列.
(1)求a1,a2,a3的值;
(2)求数列{an}与{bn}的通项公式;
(3)求证:
b1
a1
+
b2
a2
+
b3
a3
+…+
bn
an
<5.
答案

(本题满分14分)

(1)∵Sn=2an-2,

∴当=1时,a1=2a1-2,解得a1=2;

当n=2时,S2=2+a2=2a2-2,解得a2=4;

当n=3时,s3=a1+a2+a3=2a3-2,解得a3=8.-----------------(3分)

(2)当n≥2时,an=sn-sn-1=2an-2-(2an-1-2)=2an-2an-1,-----(5分)

得an=2an-1又,a1=2,

∴数列{an}是以2为首项,公比为2的等比数列,

所以数列{an}的通项公式为an=2n.-----------------(7分)

b1=a1=2,设公差为d,则由且b1,b3,b11成等比数列

得(2+2d)2=2(2+10d),-----------------(8分)

解得d=0(舍去)或d=3,----------------(9分)

∴bn=3n-1.-----------------(10分)

(3)令Tn=

b1
a1
+
b2
a2
+
b3
a3
+…+
bn
an

=

2
2
+
5
22
+…+
3n-1
2n

∴2Tn=2+

5
2
+
8
22
+…+
3n-1
2n-1
,-----------------(11分)

两式式相减得Tn=2+

3
2
+
3
22
+…+
3
2n-1
-
3n-1
2n
=2+
3
2
(1-
1
2n-1
)
1-
1
2
-
3n-1
2n

=5-

3n+5
2n
,-----------------(13分)

3n+5
2n
 >0,故:
b1
a1
+
b2
a2
+
b3
a3
+…+
bn
an
<5..-----------------(14)

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