参考答案：该土地登记代理公司应按下述程序办理：
(1)土地登记代理人通过与委托人进行沟通，了解委托人的意图和查询目的。主要是通过土地登记机关查询有关权属资料，验证该公司合法拥有土地使用权的真实性，并查证有无其他抵押登记手续。
(2)与委托人签订土地登记代理委托书、土地登记代理合同，明确授权范围和权限。
(3)根据确定的查询内容，向土地登记机关提出查询申请。土地登记代理人应填写查询申请书，明确查询对象和范围主要为位于该市某区某路X号土地的登记状况，通过查询土地登记卡，即可了解有关登记状况。
(4)委托人根据该银行的要求，查询位于该市某区某路×号土地登记卡等土地登记资料，记录该宗地的土地使用者、坐落、土地面积、土地权属状况、有无抵押登记等状况，并可复印有关土地登记资料。为保证查询到的土地登记资料的权威性，土地登记代理人可以申请土地登记机关在有关土地登记资料复印件上加盖鉴证公章。
(5)土地登记代理人将查询到的土地登记资料提供给该银行，完成土地登记资料的代理查询工作。