问题
解答题
直线l：y=kx+1与双曲线C：2x2-y2=1的右支交于不同的两点A、B，
（Ⅰ）求实数k的取值范围；
（Ⅱ）是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由。
答案
解：（Ⅰ）将直线l的方程y=kx+1代入双曲线C的方程2x2-y2=1后，
整理得
，……①
依题意，直线l与双曲线C的右支交于不同两点，
故
，解得k的取值范围是
；
（Ⅱ）设A、B两点的坐标分别为
，
则由①式得
，……②
假设存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F（c，0），
则由FA⊥FB得：
，即
，
整理得
，……③
把②式及代入③式化简得
，
解得
（舍去），
可知
使得以AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点。
