问题 解答题

已知函数f(x)=x2ln|x|,

(1)判断函数f(x)的奇偶性;

(2)求函数f(x)的单调区间;

(3)若关于x的方程f(x)=kx-1有实数解,求实数k的取值范围。

答案

解:(1)函数f(x)的定义域为{x|x∈R且x≠0},

又f(-x)=(-x)2ln|-x|=x2ln|x|=f(x),

所以f(x)为偶函数.

(2)当x>0时,

,则f′(x)<0,f(x)递减;

,则f′(x)>0,f(x)递增,

再由f(x)是偶函数,得f(x)的单调增区间是

单调减区间是

(3)要使方程f(x)=kx-1有实数解,即要使函数y=f(x)的图象与直线y=kx-1有交点,

函数f(x)的图象如图,先求当直线y=kx-1与f(x)的图象相切时k的值.

当x>0时,f′(x)=x·(2·lnx+1),

设切点为P(a,f(a)),则切线方程为y-f(a)=f′(a)(x-a),

将x=0,y=-1代入,得-1-f(a)=f′(a)(-a),

,(*)

显然,a=1满足(*).

而当0<a<1时,

当a>1时,

所以(*)有唯一解a=1,此时k=f′(1)=1,

再由对称性,k=-1时,y=kx-1也与f(x)的图象相切,

所以若方程f(x)=kx-1有实数解,则实数k的取值范围是(-∞,-1]∪[1,+∞)。

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