解：(1)函数f(x)的定义域为{x|x∈R且x≠0}，

又f(-x)=(-x)²ln|-x|=x²ln|x|=f(x)，

所以f(x)为偶函数．

(2)当x＞0时，，

若，则f′(x)＜0，f(x)递减；

若，则f′(x)＞0，f(x)递增，

再由f(x)是偶函数，得f(x)的单调增区间是和，

单调减区间是和。

(3)要使方程f(x)=kx-1有实数解，即要使函数y=f(x)的图象与直线y=kx-1有交点，

函数f(x)的图象如图，先求当直线y=kx-1与f(x)的图象相切时k的值．

当x＞0时，f′(x)=x·(2·lnx+1)，

设切点为P(a，f(a))，则切线方程为y-f(a)=f′(a)(x-a)，

将x=0，y=-1代入，得-1-f(a)=f′(a)(-a)，

即，（*）

显然，a=1满足(*)．

而当0＜a＜1时，，

当a＞1时，，

所以(*)有唯一解a=1，此时k=f′(1)=1，

再由对称性，k=-1时，y=kx-1也与f(x)的图象相切，

所以若方程f(x)=kx-1有实数解，则实数k的取值范围是(-∞，-1]∪[1，+∞)。