问题
解答题
已知函数f(x)=x2ln|x|,
(1)判断函数f(x)的奇偶性;
(2)求函数f(x)的单调区间;
(3)若关于x的方程f(x)=kx-1有实数解,求实数k的取值范围。
答案
解:(1)函数f(x)的定义域为{x|x∈R且x≠0},
又f(-x)=(-x)2ln|-x|=x2ln|x|=f(x),
所以f(x)为偶函数.
(2)当x>0时,,
若,则f′(x)<0,f(x)递减;
若,则f′(x)>0,f(x)递增,
再由f(x)是偶函数,得f(x)的单调增区间是和
,
单调减区间是和
。
(3)要使方程f(x)=kx-1有实数解,即要使函数y=f(x)的图象与直线y=kx-1有交点,
函数f(x)的图象如图,先求当直线y=kx-1与f(x)的图象相切时k的值.
当x>0时,f′(x)=x·(2·lnx+1),
设切点为P(a,f(a)),则切线方程为y-f(a)=f′(a)(x-a),
将x=0,y=-1代入,得-1-f(a)=f′(a)(-a),
即,(*)
显然,a=1满足(*).
而当0<a<1时,,
当a>1时,,
所以(*)有唯一解a=1,此时k=f′(1)=1,
再由对称性,k=-1时,y=kx-1也与f(x)的图象相切,
所以若方程f(x)=kx-1有实数解,则实数k的取值范围是(-∞,-1]∪[1,+∞)。

多项选择题