问题
解答题
已知数列{an}是各项均不为0的等差数列，公差为d，Sn为其前n项和，且满足
（I）求a1，d和Tn； （II）若对任意的n∈N*，不等式λTn＜n+8•(-1)n恒成立，求实数λ的取值范围． |
答案
（I）在
=S2n-1中，令n=1，n=2，a 2n
得
，即a12=S1 a22=S3
，a12=a1 (a1+d)2=3a1+3d
解得a1=1，d=2，（3分）
∴an=2n-1. ∵bn=
=1 anan+1
=1 (2n-1)(2n+1)
(1 2
-1 2n-1
)，1 2n+1 ∴Tn=
(1-1 2
+1 3
-1 3
+…+1 5
-1 2n-1
)=1 2n+1
．…(6分)n 2n+1
（II）（1）当n为偶数时，要使不等式λTn＜n+8•(-1)n恒成立，
即需不等式λ＜
=2n+(n+8)(2n+1) n
+17恒成立．8 n
∵2n+
≥8，等号在n=2时取得．8 n
∴此时λ需满足λ＜25．（8分）
（2）当n为奇数时，要使不等式λTn＜n+8•(-1)n恒成立，
即需不等式λ＜
=2n-(n-8)(2n+1) n
-15恒成立．8 n
∵2n-
是随n的增大而增大，8 n
∴n=1时2n-
取得最小值-6．8 n
∴此时λ需满足λ＜-21．（10分）
综合（1）（2）可得λ＜-21
∴λ的取值范围是{λ|λ＜-21}．（12分）