已知等差数列{an}的首项a1=1，公差d＞0，且第二项、第五项、第十

问题解答题

已知等差数列{a_n}的首项a₁=1，公差d＞0，且第二项、第五项、第十四项分别是一个等比数列的第二项、第三项、第四项．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设bn=

n(an+3)

（n∈N*），S_n=b₁+b₂+…+b_n，求S_n；
（Ⅲ）对于（Ⅱ）中的S_n，是否存在实数t，使得对任意的n均有：8S_n≤t（a_n+3）成立？若存在，求出t的范围，若不存在，请说明理由．

答案

（Ⅰ）由题意得（a₁+d）（a₁+13d）=（a₁+4d）2，…2 分

整理得2a₁d=d2．

∵a₁=1，解得（d=0舍），d=2． …4 分

∴a_n=2n-1（n∈N*）． …6 分

（Ⅱ）b_n=

n(an+3)

2n(n+1)

（

n+1

），

∴S_n=b₁+b₂+…+b_n=

[（1-

）+（

）+…+（

n+1

）]=

（1-

n+1

）=

2(n+1)

． …10 分

（Ⅲ）假设存在整数t满足8S_n≤t（a_n+3）总成立．

得t≥

(n+1)2

，而

(n+1)2

≤

2+2

，即

(n+1)2

的最大值为

，

∴t≥

适合条件 …（12分）