问题 解答题

设f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意实数x,恒有f(x+2)=-f(x).当x∈[0,2]时,f(x)=2x-x2

(1)求证:f(x)是周期函数;

(2)当x∈[2,4]时,求f(x)的解析式;

(3)计算f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 012).

答案

解:(1)∵f(x+2)=-f(x),

∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x),

∴f(x)是周期为4的周期函数.

(2)当x∈[-2,0]时,-x∈[0,2],

由已知得f(-x)=2(-x)-(-x)2=-2x-x2

又f(x)是奇函数,

∴f(-x)=-f(x)=-2x-x2

∴f(x)=x2+2x,

又当x∈[2,4]时,x-4∈[-2,0],

∴f(x-4)=(x-4)2+2(x-4),

又f(x)是周期为4的周期函数,

∴f(x)=f(x-4) =(x-4)2+2(x-4) =x2-6x+8,

从而求得x∈[2,4]时,f(x)=x2-6x+8;

(3)f(0)=0,f(2)=0,f(1)=1,f(3)=-1,

又f(x)是周期为4的周期函数,

∴f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=f(4)+f(5)+f(6)+f(7)=…=f(2 008)+f(2 009)+f(2 010)+f(2 011)+f(2 012)=0,

∴f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 012)=0。

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