问题
解答题
设f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意实数x,恒有f(x+2)=-f(x).当x∈[0,2]时,f(x)=2x-x2,
(1)求证:f(x)是周期函数;
(2)当x∈[2,4]时,求f(x)的解析式;
(3)计算f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 012).
答案
解:(1)∵f(x+2)=-f(x),
∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x),
∴f(x)是周期为4的周期函数.
(2)当x∈[-2,0]时,-x∈[0,2],
由已知得f(-x)=2(-x)-(-x)2=-2x-x2,
又f(x)是奇函数,
∴f(-x)=-f(x)=-2x-x2,
∴f(x)=x2+2x,
又当x∈[2,4]时,x-4∈[-2,0],
∴f(x-4)=(x-4)2+2(x-4),
又f(x)是周期为4的周期函数,
∴f(x)=f(x-4) =(x-4)2+2(x-4) =x2-6x+8,
从而求得x∈[2,4]时,f(x)=x2-6x+8;
(3)f(0)=0,f(2)=0,f(1)=1,f(3)=-1,
又f(x)是周期为4的周期函数,
∴f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=f(4)+f(5)+f(6)+f(7)=…=f(2 008)+f(2 009)+f(2 010)+f(2 011)+f(2 012)=0,
∴f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 012)=0。