问题
解答题
| 已知数列{an}满足：a1=1，an+an+1=4n，Sn是数列{an}的前n项和；数列{bn}前n项的积为Tn，且Tn=2n(1-n) （1）求数列{an}，{bn}的通项公式 （2）是否存在常数a，使得{Sn-a}成等差数列？若存在，求出a，若不存在，说明理由． （3）求数列{
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答案
（1）由题知an+an+1=4n，可得an+1+an+2=4（n+1），两式相减即得
an+2-an=4，即数列{an}隔项成等差数列
又a1=1，代入式子可得a2=3，
∴n为奇数时，an=a1+4(
-1)=2n-1；…（2分）n+1 2
n为偶数时，an=a2+4(
-1)=2n-1．…（3分）n 2
∴n∈N+，an=2n-1…（4分）
又当n=1时 b1=T1=20=1，
n≥2时bn=
=22(1-n)=Tn Tn-1 1 4n-1
∴n∈N+，bn=
…（6分）1 4n-1
（2）由（1）知an=2n-1，数列{an}成等差数列
∴Sn=
=n2n(a1+an) 2
∴Sn-a=n2-a，Sn+1-a=(n+1)2-a，Sn+2-a=(n+2)2-a
若存在常数a，使得{Sn-a}成等差数列，则（Sn-a）+（Sn+2-a）=2（Sn+1-a）在n∈N+时恒成立
即n2-a+（n+2）2-a=2（（n+1）2-a）化简得：4=2，矛盾
故常数a不存在 …（10分）
（3）由（2）知
=1 Sn+1-1
=1 n(n+2)
(1 2
-1 n
)1 n+2
∴Tn=
(1-1 2
)+1 3
(1 2
-1 2
)+1 4
(1 2
-1 3
)+1 5
(1 2
-1 4
)+…+1 6
(1 2
-1 n
)1 n+2
=
(1+1 2
-1 2
-1 n+1
)=1 n+2
-3 4
…（13分）2n+3 2n2+6n+4