问题
解答题
已知定义在R上的函数f（x）满足f（a+b）=f（a）+f（b），且x>0时，f（x）<0，f（1）=-2。
（1）求证f（x）是奇函数；
（2）求f（x）在[-3，3]上的最大值和最小值。
答案
解：（1）∵f（a+b）=f（a）+f（b），
令a=-b，得f（0）=f（a）+f（-a）；
令a=b=0，得f（0）=2f（0），
∴f（0）=0
∴f（a）+f（-a）=0（a∈R）
∴f（-x）=-f（x）
∴f（x）为奇函数。
（2）解：设x1＜x2，x1、x2∈R
f（x2）-f（x1）=f（x2）+f（-x1）=f（x2-x1）＜0，
∴f（x2）-f（x1）＜0，
即f（x2）＜f（x1）
∴函数f（x）在R上是单调递减的
∴f（x）在[-3，3]上的最大值是f（-3），最小值是f（3）
∵f（1）=-2，
∴f（2）=f（1）+f（1）=-4，f（3）=f（2）+f（1）=-6，f（-3）=-f（3）=6
∴f（x）在[-3，3]上的最大值为6，最小值为-6。