问题 解答题

已知分别以d1,d2为公差的等差数列{an},{bn},满足a1=1,b2009=409.

(Ⅰ)若d1=1,且存在正整数m,使得am2=bm+2009-2009,求d2的最小值;

(Ⅱ)若ak=0,bk=1600且数列a1,a2,…ak-1,bk,bk+1,bk+2…,b2009,的前项n和Sn满足S2009=2012Sk+9045,求{an}的通项公式.

答案

证明:(Ⅰ)∵am2=bm+2009-2009,

∴[a1+(m-1)d1]2=b2009+md2-2009,

即m2=409+md2-2009,

d2=m+

1600
m
≥2
m•
1600
m
=80.

等号当且仅当m=

1600
m

即m=40时成立,

故m=40时,[d2]min=80.

(Ⅱ)∵ak=0,bk=1600,a1=1,b2009=409

∴S2009=(a1+a2+…+ak-1)+(bk+bk+1+…+b2009

=

(a1+ak-1)k
2
+
(bk+b2009)(2009-k+1)
2

=

k
2
+
2009(2010-k)
2

∵S2009=2012Sk+9045

=2012

(a1+ak)k
2
+9045=2012
k
2
+9045

2012•

k
2
+9045=
k
2
+
2009(2010-k)
2

∴4020k=2009×2010-18090,

∴2k=2009-9,

∴k=1000

故得a1000=0,又a1=1,∴d1=-

1
999

an=a1+(n-1)d2=

1000
999
-
1
999
n.

因此{an}的通项公式为an=

1000
999
-
1
999
n.

单项选择题
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