已知分别以d1,d2为公差的等差数列{an},{bn},满足a1=1,b2009=409.
(Ⅰ)若d1=1,且存在正整数m,使得am2=bm+2009-2009,求d2的最小值;
(Ⅱ)若ak=0,bk=1600且数列a1,a2,…ak-1,bk,bk+1,bk+2…,b2009,的前项n和Sn满足S2009=2012Sk+9045,求{an}的通项公式.
证明:(Ⅰ)∵am2=bm+2009-2009,
∴[a1+(m-1)d1]2=b2009+md2-2009,
即m2=409+md2-2009,
∴d2=m+
≥21600 m
=80.m• 1600 m
等号当且仅当m=
,1600 m
即m=40时成立,
故m=40时,[d2]min=80.
(Ⅱ)∵ak=0,bk=1600,a1=1,b2009=409
∴S2009=(a1+a2+…+ak-1)+(bk+bk+1+…+b2009)
=
+(a1+ak-1)k 2 (bk+b2009)(2009-k+1) 2
=
+k 2
,2009(2010-k) 2
∵S2009=2012Sk+9045
=2012
+9045=2012(a1+ak)k 2
+9045k 2
∴2012•
+9045=k 2
+k 2 2009(2010-k) 2
∴4020k=2009×2010-18090,
∴2k=2009-9,
∴k=1000
故得a1000=0,又a1=1,∴d1=-
,1 999
∴an=a1+(n-1)d2=
-1000 999
n.1 999
因此{an}的通项公式为an=
-1000 999
n.1 999