问题
解答题
数列{an}是公差为正数的等差数列，a2、a5且是方程x2-12x+27=0的两根，数列{bn}的前n项和为Tn，且Tn=1-
（1）求数列{an}、{bn}的通项公式； （2）记cn=an•bn，求数列{cn}的前n项和Sn． |
答案
（1）∵等差数列{an}的公差d＞0，a2、a5且是方程x2-12x+27=0的两根，
∴a2=3，a5=9．
∴d=
=2，9-3 5-2
∴an=a2+（n-2）d=3+2（n-2）=2n-1；
又数列{bn}中，Tn=1-
bn，①1 2
∴Tn+1=1-
bn+1，②1 2
②-①得：
=bn+1 bn
，又T1=1-1 3
b1=b1，1 2
∴b1=
，2 3
∴数列{bn}是以
为首项，2 3
为公比的等比数列，1 3
∴bn=
•(2 3
)n-1；1 3
综上所述，an=2n-1，bn=
•(2 3
)n-1；1 3
（2）∵cn=an•bn=（2n-1）•
•(2 3
)n-1，1 3
∴Sn=a1b1+a2b2+…+anbn
=1×
+3×2 3
×2 3
+…+（2n-1）×1 3
×(2 3
)n-1，③1 3
∴
Sn=1 3
×2 3
+3×1 3
×(2 3
)2+…+（2n-3）×1 3
×(2 3
)n-1+（2n-1）×1 3
×(2 3
)n，④1 3
∴③-④得：
Sn=2 3
+2 3
[4 3
+(1 3
)2+(1 3
)3+…+(1 3
)n-1]-（2n-1）×1 3
×(2 3
)n，1 3
Sn=1+2[
+(1 3
)2+(1 3
)3+…+(1 3
)n-1]-（2n-1）×(1 3
)n1 3
=1+2×
-（2n-1）×(
[1-(1 3
)n-1]1 3 1- 1 3
)n1 3
=2-
×(2n+2 3
)n-11 3
=2-（2n+2）×(
)n．1 3