已知函数f（x）=（x-1）2，数列{an}是公差为d的等差数列，数列{bn}是

问题解答题

已知函数f（x）=（x-1）²，数列{a_n}是公差为d的等差数列，数列{b_n}是公比为q（q∈R且q≠1）的等比数列．若a₁=f（d-1），a₃=f（d+1），b₁=f（q-1），b₃=f（q+1）
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）设数列{C_n}对任意正整数n均有

+…+

=an+1成立，求{C_n}的通项；
（3）试比较

3bn-1

3bn+1

与

an+1

an+2

的大小，并证明你的结论．

答案

（1）∵数列{a_n}是公差为d的等差数列a₁=（d-2）²，a₃=d²

∴a₃-a₁=4d-4=2d∴d=2，a₁=0∴a_n=2n-2…（2分）

同理：b_n=3^n-1…（4分）

（2）∵

+…+

=an+1

∴

+…+

Cn-1

bn-1

=an(n≥2)

以上两式相减：

=an+1-an(n≥2)

∴

=2(n≥2)⇒Cn=2bn(n≥2)…（6分）

∴C_n=2•3^n-1（n≥2），经检验，n=1仍然成立

∴C_n=2•3^n-1…（8分）

（3）

3bn-1

3bn+1

3n-1

3n+1

；

an+1

an+2

n+1

∴

3bn-1

3bn+1

an+1

an+2

3n-1

3n+1

n+1

3n-2n-1

(3n+1)•(n+1)

…（9分）

当n=1时，

3bn-1

3bn+1

an+1

an+2

当n≥2时，3ⁿ=（1+2）ⁿ=C_n⁰2⁰+C_n¹2¹+…+C_nⁿ2ⁿ＞2n+1

∴

3bn-1

3bn+1

＞

an+1

an+2

综上所述：n=1时，

3bn-1

3bn+1

an+1

an+2

，

n≥2时，

3bn-1

3bn+1

＞

an+1

an+2

…（12分）