已知离心率为e=2的双曲线C：x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)，双曲线C

问题解答题

已知离心率为e=2的双曲线C：

=1(a＞0，b＞0)，双曲线C的一个焦点到渐近线的距离是

（1）求双曲线C的方程
（2）过点M（5，0）的直线l与双曲线C交于A、B两点，交y轴于N点，当

=λ

=μ

，且(

)2+(

)2=(

)2时，求直线l的方程．

答案

（1）∵e=2∴

=2（1分）

右焦点F（c，0）到渐近线bx-ay=0的距离d=

|cb|

a2+b2

=b=

（3分）

从而得a=1∴双曲线方程是x2-

=1（5分）

（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）

由

x2-

y=k(x-5)

得（3-k²）x²+10k²x-25k²-3=0△=100k4+4(3-k2)(25k2+3)＞0(k≠±

)①x1+x2=-

10k2

3-k2

，x1x2=-

25k2+3

3-k2

由

=λ

得，同理

=1-

=2-

x1+x2

3-k2

，

•

=1-

x1+x2

x1x2

25(3-k2)

(

)2+(

)2=(

)2-

λμ

(3-k2)2

144

25(3-k2)

解得k=±3满足①∴l方程为3x-y-15=0或3x+y-15=0