解．（Ⅰ）由题意，设曲线的方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）

由已知

a2+6=c2 c= 3a2 c

解得a=

3

，c=3

所以双曲线的方程：

x2

3

-

y2

6

=1．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知A（1，0），F（3，0），

当直线PQ与x轴垂直时，PQ方程为x=3．此时，

AP

•

AQ

≠0，应舍去．

当直线PQ与x轴不垂直时，设直线PQ的方程为y=k（x-3）．

由方程组

x2 3 - y2 6 =1 y=k(x-3)

得（k²-2）x²-6k²x+9k²+6=0

由于过点F的直线与双曲线交于P、Q两点，则k²-2≠0，即k≠±

2

，

由于△=36k⁴-4（k²-2）（9k²+6）=48（k²+1）＞0得k∈R．

∴k∈R且k≠±

2

（*）

设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则

x1+x2= 6k2 k2-2 (1) x1x2= 9k2+6 k2-2 (2)

由直线PQ的方程得y₁=k（x₁-3），y₂=k（x₂-3）

于是y₁y₂=k²（x₁-3）（x₂-3）=k²[x₁x₂-3（x₁+x₂）+9]（3）

∵

AP

•

AQ

=0，

∴（x₁-1，y₁）•（x₂-1，y₂）=0

即x₁x₂-（x₁+x₂）+1+y₁y₂=0（4）

由（1）、（2）、（3）、（4）得

9k2+6

k2-2

-

6k2

k2-2

+1+k2(

9k2+6

k2-2

-3

6k2

k2-2

+9)=0

整理得k²=

1

2

，

∴k=±

2

2

满足（*）

∴直线PQ的方程为x-

2

y-3=0或x+

2

y-3=0